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Rによるやさしい統計

6章 2つの平均値を比較する

  1. 独立な2群の平均値の差の検定

  2. 対応のある2群の平均値の差の検定

6.1 2つの平均値を比較するケース

  • 男女で心理学テストの平均値に差があるかを検討したい。

  • 統計が好き・嫌いで統計テストの平均値に差があるかを検討したい。

  • 統計の指導を受けたことにより成績が向上するかを検討したい。

6.2 独立な2群の検定

分散既知 あるいは 大標本の場合 (z-検定)

確率変数の和の平均と分散の期待値の公式より，標本平均の差の標本分 布は，

[ \bar{x_1} - \bar{x_2} \sim n(\mu_1-\mu_2, \sigma2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})) ]

標準化することで，

[ \bar{Z} = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2} - (\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim N(0,1) ]

分散未知の場合 (t-検定)

母分散を不偏分散で推定する。 標本平均の不偏分散を ( \hat{\sigma_1} ), ( \hat{\sigma_2} ) \) とすると，標本平均の差の不偏分散は，その加重平均となる：

[ \hat{\sigma}_pooled = \frac{(n_1-1)\hat{\sigma_1}^2 + (n_2-1)\hat{\sigma_2}^2} {(n_1-1) + (n_2 -1)} ]

母分散の推定量 ( \hat{\sigma}_{pooled} ) のことを，2群をプールし た分散という。

[ \bar{t} = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sqrt{\hat{\sigma}pooled2\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t{(n_1-1)+(n_2-2)} ]

例題

統計テスト1の得点の平均値に男女で有意な差があるでしょうか？ 有意水準5%，両側検定してください。

データの準備
(指導法データ <- read.csv("data/shidouhouU8.csv"))
class(指導法データ)

   SID   name sex math stat psych_test stat_test1 stat_test2 method
1    1   大村  男 嫌い 好き         13          6         10      C
2    2   本多  男 嫌い 好き         14         10         13      B
3    3   川崎  男 好き 好き          7          6          8      B
4    4   多村  男 好き 好き         12         10         15      A
5    5   松中  男 嫌い 嫌い         10          5          8      B
6    6 小久保  男 嫌い 嫌い          6          3          6      C
7    7   柴原  男 嫌い 嫌い          8          5          9      A
8    8   井手  男 嫌い 嫌い         15          9         10      D
9    9   田上  男 嫌い 嫌い          4          3          7      D
10  10   松田  男 好き 嫌い         14          3          3      D
11  11   高谷  女 好き 好き          9         11         18      A
12  12   杉内  女 嫌い 好き          6          6         14      A
13  13   和田  女 好き 好き         10         11         18      A
14  14   新垣  女 嫌い 嫌い         12          9         11      C
15  15   大隣  女 嫌い 好き          5          7         12      B
16  16   水田  女 好き 嫌い         12          5          5      D
17  17   斉藤  女 嫌い 嫌い          8          8          7      C
18  18   柳瀬  女 嫌い 嫌い          8          7         12      C
19  19   佐藤  女 嫌い 嫌い         12          7          7      B
20  20   馬原  女 嫌い 嫌い         15          9          7      D
[1] "data.frame"
男女別
(統計1男 <- subset(指導法データ, sex=="男")$stat_test1)
(統計1女 <- subset(指導法データ, sex=="女")$stat_test1)

[1]  6 10  6 10  5  3  5  9  3  3
[1] 11  6 11  9  7  5  8  7  7  9
t-検定 (等母分散)

母分散が等しいことを前提としているので，2群の分散が等しいことを 示す var.equal=TRUE を指定する。

t.test(統計1男, 統計1女, var.equal=TRUE)


    Two Sample t-test

data:  統計1男 and 統計1女
t = -1.8429, df = 18, p-value = 0.08188
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -4.2800355  0.2800355
sample estimates:
mean of x mean of y 
    6         8
t-検定 (異なる母分散)

2群の分散が等しくないいことを 示す var.equal=FALSE を指定する。

帰無分布は同じく t-分布であるが、自由度が異なる (統計学入門，12.2.4)

t.test(統計1男, 統計1女, var.equal=FALSE)


    Welch Two Sample t-test

data:  統計1男 and 統計1女
t = -1.8429, df = 16.321, p-value = 0.08359
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -4.2969668  0.2969668
sample estimates:
mean of x mean of y 
    6         8

6.3 t-検定の前提条件

  1. 標本抽出が無作為に行われていること
  2. 母集団の分布が正規分布であること
  3. 2つの母集団の分散が等質であること

3つの条件は，帰無分布が t-分布になるために必要です。

6.3.1 分散の等質性の検定

  • 2つの母集団の分散の等質性を，
  • それぞれの母集団からの2つの標本を用いて，
  • 「ふたつの母分散は等しい」という帰無仮説の検定をおこなう
  • R では， var.test
例題

クラスA,Bの統計学のテストの平均点に有意な差があるでしょうか？ 有意水準5%で検定を行ってください。

データ
(クラスA <- c(54, 55, 52, 48, 50, 38, 41, 40, 53, 52))
(クラスB <- c(57, 63, 50, 60, 61, 69, 43, 58, 36, 29))
var.test(クラスA, クラスB)

 [1] 54 55 52 48 50 38 41 40 53 52
 [1] 57 63 50 60 61 69 43 58 36 29

    F test to compare two variances

data:  クラスA and クラスB
F = 0.24157, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.04588
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.06000201 0.97255026
sample estimates:
ratio of variances 
     0.2415677
6.4 対応のある (z,t)-検定

  • 独立な2群 or 対応のない2群: 例えば30人の被験者を，ランダムに2群に分た場合

  • 対応のある2群: 同じ人の2種類のデータ。対応付られた2人ごとのデータ。

対応のあるデータの検定量

統計テスト1の得点を ( X_1 ), 統計テスト2の得点を ( X_2 ), 対応する得点差を ( D = X_2 - X_1 ), とすると，それらの標本平 均にたいし，下式が成り立つ:

[ \bar{D} = \bar{X}2 - \bar{X}1 ]

  • 得点差の標本平均の計算

    指導法データ <- read.csv("data/shidouhouU8.csv")

(統計テスト1 <- 指導法データ$stat_test1)
(統計テスト2 <- 指導法データ$stat_test2)
(変化量 <- 統計テスト2 - 統計テスト1)
c(mean(統計テスト2) - mean(統計テスト1), mean(変化量))

 [1]  6 10  6 10  5  3  5  9  3  3 11  6 11  9  7  5  8  7  7  9
 [1] 10 13  8 15  8  6  9 10  7  3 18 14 18 11 12  5  7 12  7  7
 [1]  4  3  2  5  3  3  4  1  4  0  7  8  7  2  5  0 -1  5  0 -2
[1] 3 3

  • 得点差の標本平均が従がう分布

    • ( X_i \sim N(\mu{i}, \sigma2{i}) ) を仮定すれば，
    • ( D \sim N(\mu{D}, \sigma2{D}) ) となり，
    • 標本分布は，( \bar{D} \sim N(\mu{D}, \frac{\sigma2{D}}{n}) ) となる。
    • ( \bar{D} ) を標準化して, ( n )を標本数として， [ Z = \frac {\bar{D} - \mu{D}} {\sigma{D} \sqrt{n}} \sim N(0,1) ]
    • (\mu_D ) が既知ならば，z-検定
    • (\mu_D ) が未知ならば，不偏分散を用いたt-検定

  • 例題：

    「指導法データ」の統計テスト1と統計テスト2の得点について、指導 の前後で統計テストの得点が変化したといえるでしょうか。有意水準 5％、両側検定で検定してください。

    t.test(変化量)


    One Sample t-test

data:  変化量
t = 4.8399, df = 19, p-value = 0.0001138
alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 1.702645 4.297355
sample estimates:
mean of x 
    3

    #+begin_src R :session t :results output :exports both